Espace séparable, Espace à base dénombrable \(X\ne\varnothing\)
Il existe \((x_n)_{n\in{\Bbb N}}\in X^{\Bbb N}\) tq \(\{x_n\mid n\in{\Bbb N}\}\) est dense dans \((X,d)\)
- caractérisation :
- \(\exists (U_\alpha)_{\alpha\in D}\) une famille dénombrable d'ouverts de \(X\) tq tout ouvert de \(X\) soit une réunion d'une sous-famille de \(\exists (U_\alpha)_{\alpha\in D}\)
- tout sous-espace d'un espace séparable est séparable
- tout espace métrique compact est séparable
- exemples :
- \({\Bbb R}^N\), \(L^p({\Bbb R})\) pour \(1\leqslant p\lt +\infty\)
- contre-exemple :
- \((\mathcal C_b({\Bbb R},{\Bbb R}),\lVert\cdot\rVert_\infty)\)
Densité
2
